李代数及其表示论书籍推荐

本文推荐主要针对李代数, 偶尔李群部分. 主要是李代数的入门比较容易, 有扎实的线性代数基础和少量的抽象代数知识就可以入门. 而至于和李群相结合的部分需要微分流形相关知识, 因此对一般的本科学生来说有一定难度. 推荐指数带个人感情色彩, 切勿太过认真.

基础理论篇

  • Introduction to Lie algebras by K. Erdmann & Mark J. Wildon
    推荐指数: ★★★☆☆
    阅读人群: 本科生
    本书非常适合本科生自学, 并配有部分题目的详细解答. 全书详细地覆盖了 GTM9(Humphreys) 的前三章的绝大部分内容. 额为提供了一些未来可以学习的方向. 附录部分配有各种需要用到的线性代数知识, 如果你看任何李代数相关书籍有困难, 那么这本书一定适合你.
  • Introduction to Lie Algebras and Representation Theory by James Humphreys
    推荐指数: ★★★★☆
    阅读人群: 高年级本科生和研究生
    这本经典 Graduate Texts in Mathematics 系列 9 在 Roger Carter 的 Lie Algebras of Finite and Affine Type 出版之前可以说是学习李代数的必看书籍! 小小的一本册子及其精炼, 完整地介绍了半单李代数的基本理论, 并且包含李代数的表示论部分. 因为精炼, 所以我在初读此书时经常卡在小细节上, 感觉对于学生来说不一定显然的结论都被显然了. 当然这也可能是因为我水平不够, 无法领略其精华. 它的习题也非常值得一做, 习题解答见此 Solutions to some exercises in Humphreys’ book “GTM9”.

    初读此书时可以跳过第四和第七两大章, 目前我很少用到里面的东西.

  • Infinite dimensional Lie algebras by Victor Kac
    推荐指数: ★★★★☆
    阅读人群: 高年级本科生和研究生
    这是关于无限维李代数 (Kac-Moody algebras) 的系统理论的鼻祖之作. 个人觉得这本书非常难念, 最好在读完 GTM9 的基础上再读此书! 当然也可以直接学习 Roger Carter 的 Lie Algebras of Finite and Affine Type, 这本书的后半部分就是无限维李代数. 此书的习题基本上都有来源, 推荐浏览而非做习题.
  • Lie Algebras of Finite and Affine Type by Roger Carter
    推荐指数: ★★★★★
    阅读人群: 本科生和研究生
    这是一本关于李代数的新书, 可以看做是 GTM9 和 Kac 的 Infinite dimensional Lie algebras 的替代品. 如标题所示, 此书包含了绝大部分 GTM9 和 Kac 的. 这本书最大的好处就是详细! 阅读起来比前面提到的两本经典书籍要轻松的多! 值得一提的是此书的 13 章详细地构造了单李代数的 fundamental representation. 另外 9.5 节也是一个非常有意思的 topic, 详细了解可以看一下这篇 paper From Dynkin diagram symmetries to fixed point structures. 附录里面还有 Finite 和 Affine 李代数的根系(root system)的总结, 非常实用.
  • Representation Theory: A first course by W. Fulton & J. Harris
    推荐指数: ★★★★☆
    阅读人群: 高年级本科生和研究生
    这本书很 Concrete, 有许许多多的例子, 适合配合 GTM9 (GTM9 太过于理论话, 没例子). 这本书比较全面, 里面包含了有限群的表示, 李群李代数的基本理论和表示, 并且也有 Invariant theory 的部分. 本书比较偏向于 Combinatorics, 特别是里面的李代数的不可约表示的构造. 这本书给4颗星的因为这两位作者写书总习惯给一大堆习题…很多重要的结论和例子都在习题里…
  • An Introduction to Lie Groups and Lie Algebras by Alexander Kirillov Jr
    推荐指数: ★★★★★
    阅读人群: 高年级本科生和研究生
    这本书比较新, 是非常不错的李理论入门书籍. 这本常年是 MIT 的高年级本科生李群和李代数课的教材. 两百页左右的书里面阐述了基本的李群,李代数及其表示理论. 附录里面还有典型单李代数的根系(root system)的总结, 非常实用. 还有一个非常不错的地方是其最后的 Overview of the literature, 里面介绍了一些现有的书籍(李理论)的概述和以后可以考虑阅读的书籍. 总的来说, 是一本非常适合入门的书籍.

进化加深篇

  • Representations of Semisimple Lie Algebras in the BGG Category O by James Humphreys
    推荐指数: ★★★★★
    阅读人群: 高年级和低年级研究生
    这本书包含两部分, 第一部分可以作为一学期的研究生课程, 大部分内容都是 1966 年以后的成果(起源于 1966 年 Verma 的博士论文, 在这篇文章里 Verma module 第一次被引进). 而 BGG category 起源于 Bernstein-Gelfand-Gelfand 1972 年的 paper:

    [BGG] I.N. Bernstein, I. M. Gelfand, S. I. Gelfand, Structure of representations generated by vectors of highest weight, Functional Analysis and Its Applications 5 (1971), no. 1, pp. 1-9.

    第一部分的高潮部分是 1979 年的 Kazhdan-Lsztig conjecture 猜想. 第二部分现在的研究内容中几个比较重要的 topics. 另外只是想了解 BGG category O 也可以看这个哈佛的 Note: GEOMETRIC REPRESENTATION THEORY, FALL 2005.

  • Enveloping Algebras by Jacques Dixmier
    推荐指数: ★★★★☆
    阅读人群: 研究生
    此书让 Dixmier 获得了 The Leroy P. Steele Prize for Mathematical Exposition 奖中的三本之一. 也是第一本系统讲解李代数的 Universal enveloping algebras 并用其研究李代数的表示的书. 我个人比较感兴趣的部分是第 7,8,9 章.

发散延伸篇

在熟悉了基本的半单李代数的基本里论以后, 可以考虑阅读如下几个方向的书籍: Lie superalgebras, Quantum groups(Quantized universal enveloping algebras), Vertex operator algebras, Geometric representation theory.

Lie superalgebras

Quantum groups

Vertex operator algebras

Geometric representation theory

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